Débillarder un profil
1 - Introduction
Cet article est constitué de deux parties. La première traite du débillardage d’un point de vue pratique, les formules mathématique vous sont données tel quel.
La deuxième partie est consacrée aux démonstrations mathématique de ces mêmes formules.
Bonne lecture
2 - Le rayon de précintrage
Le rayon de précintrage permet de cintrer le profil (laminé ou tube) à débillarder pour l’approcher au maximum de sa forme finale. Il ne doit rester que les opérations de dégauchissage à effectuer.
2.1 - Par calcul :
Il faut les informations suivantes :
– A = Angle de monté à l’axe du profil
– R = Rayon en plan à l’axe du profil
Rayon de précintrage
$$\frac {R} {(\cos(A))^2}$$
Le rayon de précintrage se situe à l’axe du profil. Il ne faut pas oublier de déduire les épaisseurs pour obtenir le rayon intérieur de cintrage.
2.2 - Par traçage :
Méthode de traçage :
- Tracez le triangle ABC ayant pour angle au sommet A l’angle de monté à l’axe du profil.
- Reportez la longueur du rayon à l’axe du profil sur le coté AB à partir du point A. Nous obtenons le point d.
- Elevez la perpendiculaire au coté AB à partir du point d et coupant le coté AC en e.
- A l’aide du compas, reporter la distance Ae sur le coté AB pour obtenir le point f.
- Elevez la perpendiculaire au coté AB à partir du point f et coupant le coté AC en g.
- La distance Ag est le rayon de précintrage à l’axe du profil.
3 - Débillarder un profil laminé
Après l’opération de précintrage, le débillardage d’un plat ou d’un carré se réalise à la main avec deux griffes et un chevalet.
(illustration)
4 - Débillarder un tube rond
Le débillardage d’un tube rond se fait en même temps que l’opération de pré-cintrage à l’aide d’un tracé que l’on effectue sur le tube. Il faut forcer le tube à suivre ce tracé au cours du cintrage. La ligne doit rester dans l’axe des galets.
Le principe de tracé de cette ligne est le suivant :
- Calculez la longueur du tube à débillarder ainsi que la distance de décalage.
- Tracez deux lignes parallèles sur le tube distantes de la distance de décalage, en utilisant si possible la soudure.
- Tracez la ligne de débillardage avec un fil suivant l’exemple de la figure ci-dessus.
4.1 - Le calcul :
Il faut les informations suivantes :
– D = Diamètre du tube à débillarder en mm
– L = Longueur du tube à débillarder en mm
– A = Angle de monté à l’axe du profil en °
– R = Rayon en plan à l’axe du profil en mm
Distance de décalage
$$\frac {D \times L \times \sin(A) \times \cos(A) } {2 \times R}$$
Résultat :
– Distance de décalage : en mm
4.2 - La pratique :
- Tracer la ligne de débillardage sur le tube en prévoyant une sur-longueur de chaque coté pour l’amorçage dans la rouleuse.
- Régler la rouleuse pour obtenir le rayon de pré-cintrage en une passe (utilisez des chutes).
- Souder un tube en bout qui fera office de poignée pour le débillardage.
- Positionner le tube en alignant la ligne de débillardage avec l’axe du rouleau
- Rouler le tube en forçant sur la poignée pour le faire tourner et garder la ligne de débillardage dans l’axe du galet. Le tube va se débillarder.
- Si le rayon de cintrage n’est pas correct à la première passe, on peut repasser le tube débillardé en suivant toujours la ligne de débillardage.
5 - Démonstration mathématique
Voici les démonstrations pour chacune des deux formules que je présente.
Je suis parti des équations de l’hélice circulaire données sur ce site :
Equations de l’hélice circulaire sur www.mathcurve.com
Rappel :
Paramétrisation cartésienne :
$\begin{array}{rcl} x&=&a \times \cos(t)\\y&=&a \times \sin(t)\\z&=&b \times t\end{array}$
$a$ Rayon de l’hélice
$b$ Pas de l’hélice
$t$ Paramètre : Angle au sol de l’hélice en radian
$s$ Longueur de l’hélice
Abscisse curviligne :
$\begin{array}{rcl}s&=&c \times t\\c&=&\sqrt {a^2 + b^2}\\\end{array}$
Rayon de courbure :
$R_c = a + \frac {b^2} {a} = \frac {c^2} {a}$
Angle de torsion :
$\Delta = \frac {b \times t} {c}$
Angle de monté de l’hélice :
$\alpha = \arctan\left(\frac {b} {a}\right)$
5.1 - Le rayon de précintrage
Le rayon de précintrage correspond au rayon de courbure de l’hélice.
Rayon de précintrage
$$\frac {R} {(Cos(A))^2}$$
Démonstration :
Angle de monté de l’hélice :
$\alpha = \arctan\left(\frac {b} {a}\right)$
$b = a \times \tan(\alpha)$
Abscisse curviligne :
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Je remplace $b$ par $a \times \tan(\alpha)$
$c = \sqrt{a^2 + (a \times \tan(\alpha))^2}$
Simplification :
$c = \sqrt{a^2 + a^2 \times \tan(\alpha)^2}$
$c = \sqrt{a^2 \times (1 + \tan(\alpha)^2)}$
$c = a \times \sqrt{1 + \tan(\alpha)^2}$
$c = a \times \sqrt{1 + \frac {\sin(\alpha)^2} {\cos(\alpha)^2}}$
$c = a \times \sqrt{\frac {\cos(\alpha)^2} {\cos(\alpha)^2} + \frac {\sin(\alpha)^2} {\cos(\alpha)^2}}$
$c = a \times \sqrt{\frac {\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2} {\cos(\alpha)^2}}$
$c = a \times \sqrt{\frac {1} {\cos(\alpha)^2}}$
$c = a \times \frac {1} {\cos(\alpha)}$
$c = \frac {a} {\cos(\alpha)}$
Rayon de courbure :
$R_c = \frac {c^2} {a} = c^2 \times \frac {1} {a}$
Je remplace $c$ par $\frac {a} {\cos(\alpha)}$
$R_c = \left(\frac {a} {\cos(\alpha)}\right)^2 \times \frac {1} {a}$
Simplification :
$R_c = \frac {a^2} {\cos(\alpha)^2} \times \frac {1} {a}$
$R_c = \frac {a} {\cos(\alpha)^2}$
Je retrouve bien mon équation d’origine
Rayon de précintrage
$$\frac {R} {(\cos(A))^2}$$
5.2 - Distance de décalage
La distance de décalage correspond à l’angle de torsion de l’hélice
Distance de décalage
$$\frac {D \times L \times \sin(A) \times \cos(A) } {2 \times R}$$
Démonstration :
Abscisse curviligne :
$s = c \times t$
$c = \frac {a} {\cos(\alpha)}$
Je remplace $c$
$s = \frac {a} {\cos(\alpha)} \times t$
$t = \frac {s \times \cos(\alpha)} {a}$
Angle de torsion :
$\gamma = \frac {b \times t} {c}$ (angle en radian)
$\gamma = \frac {b} {c} \times t$
Je remplace $b$ par $a \times \tan(\alpha)$, $c$ par $\frac {a} {\cos(\alpha)}$ et $t$ par $\frac {s \times \cos(\alpha)} {a}$
$\gamma = \frac {(a \times \tan(\alpha))} {\frac {a} {\cos(\alpha)}} \times \frac {s \times \cos(\alpha)} {a}$
Simplification :
$\gamma = \frac {a \times \tan(\alpha) \times \cos(\alpha)} {a} \times \frac {s \times \cos(\alpha)} {a}$
$\gamma = \frac {a \times \tan(\alpha) \times \cos(\alpha) \times s \times \cos(\alpha)} {a \times a}$
$\gamma = \frac {s \times \sin(\alpha) \times \cos(\alpha)} {a}$
Distance de décalage en fonction du diamètre du tube et de l’angle de torsion :
$D \Rightarrow $ Diamètre du tube à débillarder
$d \Rightarrow $ Distance de décalage
$\gamma$ est un angle en radian, il me suffit de le multiplier par le rayon du tube à débillarder pour obtenir la longueur de l’arc correspondant
$d = \frac {D} {2} \times \gamma$
Je remplace $\gamma$
$d = \frac {D} {2} \times \frac {s \times \sin(\alpha) \times \cos(\alpha)} {a}$
Simplification :
$d = \frac {D \times s \times \sin(\alpha) \times \cos(\alpha)} {2 \times a}$
Je retrouve bien mon équation d’origine
Distance de décalage
$$\frac {D \times L \times \sin(A) \times \cos(A) } {2 \times R}$$
